Question

如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE=CA，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．
（1）求证：△FBC≌△FAD；
（2）连接BD，若cos∠FBD=，且BD=10，求FC的值．

Answer 1

（1）证明：∵CE=AC，CF⊥AE，
∴AF=EF，
∴在Rt△ABE中，BF=AF，
∴∠FBA=∠FAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠FBA+∠ABC=∠FAB+∠BAD，
即∠FAD=∠FBC，
在△FBC和△FAD中，
∵，
∴△FBC≌△FAD（SAS）；

（2）解：∵△FBC≌△FAD，
∴FC=FD，∠BFC=∠AFD，
∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°，
∵cos∠FBD==，BD=10，
∴FB=×10=6，
∴FD===8，
∴FC=8．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AF=EF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=AF，然后利用等边对等角的性质得到∠FBA=∠FAB，从而推出∠FAD=∠FBC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，然后利用“边角边”即可证明；
（2）根据（1），利用全等三角形对应边相等可得FC=FD，全等三角形对应角相等可得∠BFC=∠AFD，然后证明∠BFD=90°，再根据余弦=求出FB的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求出FD，从而得解．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及锐角三角函数，综合性较强，但难度不大，求出∠FAD=∠FBC是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．