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如图,已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点,且CE=CA,连接AE,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,连接BF、FD.
(1)求证:△FBC≌△FAD;
(2)连接BD,若cos∠FBD=
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,且BD=10,求FC的值.
分析:(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得AF=EF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=AF,然后利用等边对等角的性质得到∠FBA=∠FAB,从而推出∠FAD=∠FBC,再根据矩形的对边相等可得AD=BC,然后利用“边角边”即可证明;
(2)根据(1),利用全等三角形对应边相等可得FC=FD,全等三角形对应角相等可得∠BFC=∠AFD,然后证明∠BFD=90°,再根据余弦=
邻边
斜边
求出FB的长度,然后利用勾股定理列式计算即可求出FD,从而得解.
解答:(1)证明:∵CE=AC,CF⊥AE,
∴AF=EF,
∴在Rt△ABE中,BF=AF,
∴∠FBA=∠FAB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ABC=∠BAD=90°,
∴∠FBA+∠ABC=∠FAB+∠BAD,
即∠FAD=∠FBC,
在△FBC和△FAD中,
AD=BC
∠FAD=∠FBC
BF=AF

∴△FBC≌△FAD(SAS);

(2)解:∵△FBC≌△FAD,
∴FC=FD,∠BFC=∠AFD,
∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°,
∵cos∠FBD=
FB
BD
=
3
5
,BD=10,
∴FB=
3
5
×10=6,
∴FD=
BD2-FB2
=
102-62
=8,
∴FC=8.
点评:本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,以及锐角三角函数,综合性较强,但难度不大,求出∠FAD=∠FBC是证明三角形全等的关键,也是本题的难点.
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(1)求证:△FBC≌△FAD;
(2)连接BD,若
FB
BD
=
3
5
,且AC=10,求FC的值.

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