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如图,已知点E是矩形ABCD的边AB上一点,BE:EA=5:3,EC=15
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,把△BEC沿折痕EC向精英家教网上翻折,若点B恰好在AD上,设这个点为F.
(1)求AB、BC的长度各是多少?
(2)若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,求⊙O的面积.
分析:(1)求线段的长度问题,题中可先设其长度为k,然后利用三角形相似建立平衡关系,再用勾股定理求解即可.
(2)连接OB,由⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则BE=EF,BC=CF;再由BE:EA=5:3可以设BE=5x,EA=3x,则FA=4x,CD=8x,又CF=AD,CF2=CD2+DF2,可得CF=10x,DF=6x,则BC=10x;在Rt△EBC中,由勾股定理可求得x的值,再由面积S△EBC=S△OEB+S△OBC求得⊙O半径,求出面积.
解答:解:(1)∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠D=90°,BC=AD,AB=CD,
∴∠AFE+∠AEF=90°(2分)
∵F在AD上,∠EFC=90°
∴∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
∴△AEF∽△DFC(3分)
AE
DF
=
AF
DC
.(4分)
∵BE:EA=5:3
设BE=5k,AE=3k
∴AB=DC=8k,
由勾股定理得:AF=4k,
3k
DF
=
4k
8k

∴DF=6k
∴BC=AD=10k(5分)
在△EBC中,根据勾股定理得BE2+BC2=EC2
∵CE=15
5
,BE=5k,BC=10k
(5k)2+(10k)2=(15
5
)2

∴k=3(6分)
∴AB=8k=24,BC=10k=30(7分)

(2)连接OB,精英家教网
由于⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则BE=EF,BC=CF;
由BE:EA=5:3,设BE=5x,EA=3x,
则FA=4x,CD=8x,又CF=AD,∴CF2=CD2+DF2,即CF2=(8x)2+(CF-4x)2,可得CF=10x,DF=6x,则BC=10x;
在Rt△EBC中,EB2+BC2=EC2,即(5x)2+(10x)2=15
5
2
解得:x=3,则BE=15,BC=30.
再由S△EBC=S△OEB+S△OBC,则
1
2
×BE×BC=
1
2
×BE×r+
1
2
×BC×r,
解得:r=10;
则⊙O的面积为πr2=100π.
点评:本题考查了矩形的性质,会解决一些简单的翻折问题,能够利用勾股定理求解直角三角形;同时也考查了切线的性质及勾股定理的应用,难度稍大,解题时要理清思路.
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如图,已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点,且CE=CA,连接AE,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,连接精英家教网BF、FD.
(1)求证:△FBC≌△FAD;
(2)连接BD,若
FB
BD
=
3
5
,且AC=10,求FC的值.

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精英家教网如图,已知点E是矩形ABCD的边AB上一点,且EF⊥AC,EG⊥BD,AB=4cm,AD=3cm,则EF+EG=
 

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如图,已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点,且CE=CA,连接AE,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,连接BF、FD.
(1)求证:△FBC≌△FAD;
(2)连接BD,若cos∠FBD=
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,且BD=10,求FC的值.

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如图,已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点,且CE=CA,连接AE,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,连接BF、FD.
(1)求证:△FBC≌△FAD;
(2)连接BD,若cos∠FBD=数学公式,且BD=10,求FC的值.

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