精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点,且CE=CA,连接AE,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,连接精英家教网BF、FD.
(1)求证:△FBC≌△FAD;
(2)连接BD,若
FB
BD
=
3
5
,且AC=10,求FC的值.
分析:(1)根据CE=CA得到△ACE为等腰三角形,由CF⊥AE,根据“三线合一”得到F为AE的中点,又根据矩形的性质得到∠ABE为直角,在直角三角形ABE中,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到AF等于BF,再根据等比对等角得到∠FAB=∠FBA,然后由∠BAD=∠ABC=90°,从而得到∠FAD=∠FBC,最后根据矩形的性质得到对边相等,AD=BC,根据“SAS”即可得证;
(2)根据(1)中的三角形全等得到FC=FD,且∠BFC=∠AFD,又∠AFC为直角,根据等量代换得到∠BFD为直角,由矩形的对角线相等,即AC=BD=10,根据已知的比例式可得FB的长,在直角三角形BFD中,利用勾股定理求出FD,即为FC的长.
解答:(1)证明:∵CE=AC,CF⊥AE,∴AF=EF(1分)
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ABC=∠BAD=90°
∴在Rt△ABE中,BF=AF,(1分)
∴∠FBA=∠FAB,
∴∠FAD=∠FBC,(1分)
∴△FBC≌△FAD;(1分)

(2)解:∵△FBC≌△FAD,∴FC=FD,∠BFC=∠AFD(1分)
∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°(1分)
∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=10,
FB
BD
=
3
5
,且BD=AC=10,∴FB=6,
在直角三角形BDF中,根据勾股定理得:FD=8,(1分)
∴FC=8.(1分)
点评:此题考查了矩形的性质,以及全等三角形的判别与性质.三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS,SSS及HL(直角三角形),注意根据题意选择合适的证明方法.第二问的思路是:利用第一问的结论得出相等的边及角,利用等量间的转换构造直角三角形,借助勾股定理解决问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知点E是矩形ABCD的边AB上一点,且EF⊥AC,EG⊥BD,AB=4cm,AD=3cm,则EF+EG=
 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知点E是矩形ABCD的边AB上一点,BE:EA=5:3,EC=15
5
,把△BEC沿折痕EC向精英家教网上翻折,若点B恰好在AD上,设这个点为F.
(1)求AB、BC的长度各是多少?
(2)若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,求⊙O的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点,且CE=CA,连接AE,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,连接BF、FD.
(1)求证:△FBC≌△FAD;
(2)连接BD,若cos∠FBD=
35
,且BD=10,求FC的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点,且CE=CA,连接AE,过点C作CF⊥AE,垂足为点F,连接BF、FD.
(1)求证:△FBC≌△FAD;
(2)连接BD,若cos∠FBD=数学公式,且BD=10,求FC的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案