Question

【题目】如图1，∠AOB=30°，点M为射线OB上一点，平面内有一点P使∠PAM=150°且PA=AM.

（1）求证：∠OMA=∠OAP.

（2）如图2，若射线OB上有一点Q使∠POA=∠AQO，求证：OP=AQ.

（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH⊥OB，且OH=AH，已知N点为MQ的中点，且ON=,则OA=____________.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【解析】

（1）利用三角形的内角和定理可得∠OAM+∠OMA=150°，再由条件∠OAP+∠OAM=150°，即可得出结论；

（2）在OB上取一点M使AM=AN，然后证明△OAP≌QNA即可得出结论；

（3）在OB上取一点C使AM =AC，设AH=x，MH=CH=y，然后用含x、y的式子表示出ON，再利用ON=建立方程求出x，即可得出答案．

（1）证明：∵∠AOB=30°，

∴∠OAM+∠OMA=150°，

∵∠PAM=∠OAP+∠OAM=150°，

∴∠OAP=∠OMA；

（2）证明：在OB上取一点M使AM=AN，

∴∠AMN=∠ANM，

∵∠AMO+∠AMN=180°，∠ANM+∠ANQ=180°，

∠AMO=∠ANQ，

∵∠AMO=∠OAP，

∴∠OAP=∠ANQ，

在△OAP和△QNA中

∴△OAP≌QNA（AAS），

∴OP=AQ；

（3）在OB上取一点C使AM =AC，

由（2）知△OAP≌△ACQ，

∴OA=CQ，

设AH=x，则OA=CQ =2x，OH=x．

设MH=CH=y，

∴MQ=MC+CQ=2x+2y，

∵N是MQ中点，

∴MN=x+y，

∵OM=OH-MH=x-y，

∴ON=OM+MN=x+y+x-y=1+，

解得x=1，

∴OA=2x=2．