Question

【题目】如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B,C,D在同一条直线上，已知AC=AE=CD,∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF,EF,分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为____________.

Answer 1

【答案】6

【解析】

由角平分线和三角形的内角和定理可得∠AFC=135°，由△AFC≌△DFC可得∠DFC=∠AFC=135°，可得∠AFD=90°．同理可得∠CFE=90°，可求得∠MFN=45°，过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，由正方形的半角模型可得MN=MP+NQ，由此即可得出答案．

解：过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，过点F作FG⊥FM，交BC于点G．

∵点F是∠BAC和∠BCA的角平分线交点，

∴FP=FQ=3，

∵∠ABC=90°，

∴四边形BPFQ是正方形，

∴BP=BQ=3．

在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA=90°，

∵AF、CF是角平分线，

∴∠FAC+∠FCA=45°，

∴∠AFC=180°-45°=135°．

易证△AFC≌△DFC（SAS），

∴∠AFC=∠DFC=135°，

∴∠ADF=90°，

同理可得∠EFC=90°，

∴∠MFN=360°-90°-90°-135°=45°．

∵∠PFM+∠MFN=90°，∠MFN+∠QFG=90°，

∴∠PMF=∠QFG，

∵∠FPM=∠FQG=90°，FP=FQ，

∴△FPM≌△FQG（ASA），

∴PM=QG，FM=FG．

在△FMN和△FGN中

∴△FMN≌△FGN（SAS），

∴MN=NG，

∴MN=NG=NQ+QG=PM+QN，

∴△BMN的周长为：

BM+BN+MN

= BM+BN+ PM+QN

=BP+BQ

=3+3

=6．

故答案为：6．