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【题目】如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.

(1)图①,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长;

(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.

①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;

②求EF的长;

(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=,求的值.

【答案】(1)(2)四边形AEMF为菱形,理由详见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)先利用折叠的性质得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,则S△AEF≌S△DEF,则易得S△ABC=4S△AEF,再证明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根据相似三角形的性质得到=(2,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长;(2)①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形;

②连结AM交EF于点O,如图②,设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,先证明△CME∽△CBA得到==,解出x后计算出CM=,再利用勾股定理计算出AM,然后根据菱形的面积公式计算EF;

(3)如图③,作FH⊥BC于H,先证明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再证明△BFH∽△BAC,利用相似比可计算出x=,则可计算出FH和BH,接着利用勾股定理计算出BF,从而得到AF的长,于是可计算出的值.

试题解析:(1)如图①,

∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,

∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,

∴S△AEF≌S△DEF

∵S四边形ECBF=3S△EDF

∴S△ABC=4S△AEF

在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,

∴AB==5,

∵∠EAF=∠BAC,

∴Rt△AEF∽Rt△ABC,

=(2,即(2=

∴AE=

(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:

如图②,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,

∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,

∵MF∥AC,

∴∠AEF=∠MFE,

∴∠AEF=∠AFE,

∴AE=AF,

∴AE=EM=MF=AF,

∴四边形AEMF为菱形;

②连结AM交EF于点O,如图②,

设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,

∵四边形AEMF为菱形,

∴EM∥AB,

∴△CME∽△CBA,

==,即==,解得x=,CM=

在Rt△ACM中,AM===

∵S菱形AEMF=EFAM=AECM,

∴EF=2×=

(3)如图③,作FH⊥BC于H,

∵EC∥FH,

∴△NCE∽△NFH,

∴CN:NH=CE:FH,即1:NH=:FH,

∴FH:NH=4:7,

设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,

∵FH∥AC,

∴△BFH∽△BAC,

∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x=

∴FH=4x=,BH=4﹣7x=

在Rt△BFH中,BF==2,

∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,

=

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