【题目】如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.
(1)图①,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长;
(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;
②求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=,求的值.
【答案】(1);(2)①四边形AEMF为菱形,理由详见解析;②;(3).
【解析】
试题分析:(1)先利用折叠的性质得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,则S△AEF≌S△DEF,则易得S△ABC=4S△AEF,再证明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根据相似三角形的性质得到=()2,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长;(2)①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形;
②连结AM交EF于点O,如图②,设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,先证明△CME∽△CBA得到==,解出x后计算出CM=,再利用勾股定理计算出AM,然后根据菱形的面积公式计算EF;
(3)如图③,作FH⊥BC于H,先证明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再证明△BFH∽△BAC,利用相似比可计算出x=,则可计算出FH和BH,接着利用勾股定理计算出BF,从而得到AF的长,于是可计算出的值.
试题解析:(1)如图①,
∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF≌S△DEF,
∵S四边形ECBF=3S△EDF,
∴S△ABC=4S△AEF,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∵∠EAF=∠BAC,
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴=()2,即()2=,
∴AE=;
(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:
如图②,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,
∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,
∵MF∥AC,
∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=EM=MF=AF,
∴四边形AEMF为菱形;
②连结AM交EF于点O,如图②,
设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,
∵四边形AEMF为菱形,
∴EM∥AB,
∴△CME∽△CBA,
∴==,即==,解得x=,CM=,
在Rt△ACM中,AM===,
∵S菱形AEMF=EFAM=AECM,
∴EF=2×=;
(3)如图③,作FH⊥BC于H,
∵EC∥FH,
∴△NCE∽△NFH,
∴CN:NH=CE:FH,即1:NH=:FH,
∴FH:NH=4:7,
设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,
∵FH∥AC,
∴△BFH∽△BAC,
∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x=,
∴FH=4x=,BH=4﹣7x=,
在Rt△BFH中,BF==2,
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,
∴=.
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【题目】某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端,测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进6米到达D处,测得仰角为64°,求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米)
(参考数据:sin48°≈,tan48°≈,sin64°≈,tan64°≈2)
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若CE=4,DE=2,求AD的长.
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【题目】小明的外婆从家乡带来一篮苹果,小明数了数,发现每次拿出4个、每次拿出5个或每次拿出6个,都恰好拿完,又知道苹果的总数超过100个,但又不足150个,试问这篮苹果共多少个?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接GB,EF,求证:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的长.
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【题目】平南县某小区5月份随机抽取了15户家庭,对其用电情况进行了统计,统计情况如下(单位:度):78,62,95,108,87,103,99,74,87,105,88,76,76,94,79.则用电量在71~80的家庭有( )
A. 4户B. 5户C. 6户D. 7户
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【题目】如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若sinA=,求AD的长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
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