Question

12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，直角边AC，BC分别在x轴和y轴的正半轴上，且长度分别为3和4，Rt△A₁B₁C₁，Rt△A₂B₂C₂，Rt△A₃B₃C₃，Rt△A₄B₄C₄…按照如图所示的规律排列，均为Rt△ABC相似，且A₁B₁=10，A₂B₂=15，A₃B₃=20，A₄B₄=25…，则A₁₀₀的坐标为（15453，0）．

Answer 1

分析 根据相似计算出A、A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇的坐标，找出规律，即可得到A₁₀₀的坐标．

解答 解：∵直角边AC，BC分别在x轴和y轴的正半轴上，且长度分别为3和4，
∴AB=5，
∵Rt△A₁B₁C₁，Rt△A₂B₂C₂，Rt△A₃B₃C₃，Rt△A₄B₄C₄…均与Rt△ABC相似，
∵AB=5，A₁B₁=10，A₂B₂=15，A₃B₃=20，A₄B₄=25…，
∴OA₁=3=3×1，OA₂=OA₃=3+6+9=3（1+2+3），OA₄=OA₅=3+6+9+12+15=3（1+2+3+4+5），…，
以依此规律，
∴OA100=OA101=3（1+2+3+4+5+…+101）=15453，
∴A₁₀₀的坐标为：（15453，0）．
故答案为：（15453，0）．

点评 本题考查了三角形相似和图形变化规律，根据相似三角形的性质计算出出A、A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇的坐标，发现规律是解决问题的关键．