Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，，点为上的动点，且.

(1)求的长度；

(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问ADAE的值是否变化？若不变，请求出ADAE的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；（3）证明见解析.

【解析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；

（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得ADAE=AFAG，连接BG，求得AF=3，FG=，继而即可求得ADAE的值；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.

（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=BC=1，

在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=；

（2）连接DG，

∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，

∴AD：AF=AG：AE，

∴ADAE=AFAG，

连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AFFG，

∵AF==3，

∴FG=，

∴ADAE=AFAG=AF（AF+FG）=3×=10；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

∴∠ADC=∠ADN，

∵AD=AD，CD=ND，

∴△ADC≌△ADN，

∴AC=AN，

∵AB=AC，∴AB=AN，

∵AH⊥BN，

∴BH=HN=HD+CD.