Question

如图，已知在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边的中点，P在过A、E、D三点的圆上，则△APE面积的最大值是（　　）

• A、10

  5

  +10
• B、10

  5

  +5
• C、32
• D、5

  5

  +20

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：设圆心为O，根据垂径定理点P在AE的垂直平分线上时，△APE面积的最大，过点E作EF⊥AD于F，连接AO，设圆的半径为r，在Rt△AOF中，利用勾股定理列式求出r，设PO与AE交点为G，利用勾股定理列式求出AE，再求出OG，然后求出PG的长度，再根据三角形的面积列式计算即可得解．

解答：解：如图，设圆心为O，
由垂径定理得，点P在AE的垂直平分线上时，点P到AE的距离最大，△APE面积的最大，
过点E作EF⊥AD于F，连接AO，
设圆的半径为r，
∵点E是BC的中点，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
在Rt△AOF中，AO²=AF²+OF²，
即r²=4²+（8-r）²，
解得r=5，
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

82+42

=4

5

，
设PO与AE交点为G，则AG=

1

2

AE=

1

2

×4

5

=2

5

，
在Rt△AOG中，OG=

AO2-AG2

=

52-(2 5 )2

=

5

，
∴PG=5+

5

，
∴△APE的最大面积=

1

2

×4

5

×（5+

5

）=10

5

+10．
故选A．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理，垂径定理，熟记各性质与定理并判断出三角形的面积最大时点P的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．