Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为

 

．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AC的距离也等于DE，然后利用△ABC的面积列方程求出DE，再判断出△ADE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离也等于DE，
∴S_△ABC=

1

2

×3•DE+

1

2

×4•DE=

1

2

×3×4，
解得DE=

12

7

，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE=

12

7

，
∴BE=3-

12

7

=

9

7

，
在Rt△BDE中，BD=

DE2+BE2

=

( 12 7 )2+( 9 7 )2

=

15

7

．
故答案为：

15

7

．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形是解题的关键．