Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=1，AB=4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：延长AD、BC相交于点E，判断出△ABE是等腰直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余求出∠E=45°，然后判断出△CDE是等腰直角三角形，然后求出DE再求出CE，最后根据S_{四边形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE列式计算即可得解．

解答：解：如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠A=90°，∠ABC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠E=45°，AE=AB=4，
∵AD=1，
∴DE=AE-AD=4-1=3，
∵∠BCD=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=

2

2

DE=

2

2

×3=

3 2

2

，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE
=

1

2

×4×4-

1

2

×

3 2

2

×

3 2

2

=8-

9

4

，
=

23

4

．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，作辅助线构造出等腰直角三角形是解题的关键．