练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知，如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A （x1，0），B （x2，0），C （0，-2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F（点E在点F的上方），过点E作⊙M的切线交x轴于点N （-6，0），
    |x1-x2|=8．
    （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
    （2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P（不与点D重合），使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
    （3）如图2，点G为⊙M在第一象限内的任意一点、连结AG的直线l与（1）中的抛物线交于点H，设点H的坐标为（m，n），求AG•AH关于m的函数关系式，并求当m=8时，线段GH的长．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）求抛物线解析式需已知3点，现仅知C点，A、B两点虽不明确，但由|x1-x2|=8，可得AB=8．因为E为切点，则连接圆心与切点是对切线题目的常规做法，易得三角形相似性质，设MO=x，EO=y易得关于x，y的方程组，解得即有A、B坐标，则抛物线及顶点坐标易得．
    （2）由已确定△ABP与△ADB，即已知对应点，那么∠BAP=∠DAB，由此画图仅得一点P．若此时的△ABP与△ADB相似，那么AB与BP的关系必同AD与DB关系一致，因为AD=BD，所以仅需判断BP是否等于AB即知．
    （3）有题干中的AG•AH，不难想到切割线定理，即GH•AH=过点H的切线长的平方，而AH•AG=AH•（AH-GH）=AH2-GH•AH，其中A点固定，H点已知，AH2易求．而切线一般都利用切点与圆心的切线，则易发现恰好构成直角三角形，利用勾股定理易转化“过点H的切线长的平方”，进而可表示函数关系．求得关系由m=8，代入即可，不难推得GH．
    解答：解：
    （1）

    如图1，连接ME，记OM=x，EO=y，
    ∵N （-6，0），|x1-x2|=8，
    ∴NO=6，AB=8，
    ∴EM=AM=MB=4．
    ∵∠ENO=90°-∠NEO=∠MEO，∠NOE=∠EOM=90°，
    ∴△NEO∽△EM0，
    ∴
    NO
    OE
    =
    EO
    OM
    ，
    ∴
    6
    y
    =
    y
    x
    ，即y2=6x，
    在Rt△EOM中，
    ∵EO2+OM2=EM2，
    ∴y2+x2=42=16，
    ∴x2+6x-16=0，
    ∴x=2，或x=-8（负值舍去），
    ∴OM=2，
    ∴A（-2，0），B（6，0）．
    代入A、B、C三点坐标，解得抛物线为y=
    1
    6
    x2-
    2
    3
    x-2，
    ∴顶点D（2，-
    8
    3
    ）．

    （2）

    如图2，连接AD，BD，作∠PAB=∠DAB交MD于Q，交抛物线于P，
    显然Q与D关于x轴对称，即Q（2，
    8
    3
    ），
    设过A（-2，0），Q（2，
    8
    3
    ）的直线为y=kx+b，
    代入坐标，解得直线AQ：y=
    2
    3
    x+
    4
    3
    ，
    设P（x，y），则满足
    y=
    1
    6
    x2-
    2
    3
    x-2
    y=
    2
    3
    x+
    4
    3
    ，
    解得
    x=-2
    y=0
    （与A重合舍去），或
    x=10
    y=8
    ，
    ∴P（10，8）．
    ∵B（6，0），
    ∴PB2=（xP-xB）2+（yP-yB）2=16+64=80，
    ∴PB=4
    		5
    ，
    ∵AB=8，
    ∴AB≠PB，
    ∵AD=BD，
    ∴不存在P点使得△ABP与△ADB相似．

    （3）

    如图3，过点H作⊙M的切线HI，切点为I，连接MI，HM，
    由切割线定理易得GH•AH=HI2，
    ∵M（2，0），H（m，
    1
    6
    m2-
    2
    3
    m-2），
    ∴MH2=（xH-xM）2+（yH-yM）2=（m-2）2+（
    1
    6
    m2-
    2
    3
    m-2）2，
    在Rt△MHI中，
    ∵MI=4，
    ∴HI2=MH2-MI2=（m-2）2+（
    1
    6
    m2-
    2
    3
    m-2）2-16，
    ∴GH•AH=（m-2）2+（
    1
    6
    m2-
    2
    3
    m-2）2-16，
    ∵A（-2，0），
    ∴AH2=（xH-xA）2+（yH-yA）2=（m+2）2+（
    1
    6
    m2-
    2
    3
    m-2）2，
    ∴AH•AG=AH•（AH-GH）=AH2-GH•AH=（m+2）2+（
    1
    6
    m2-
    2
    3
    m-2）2-[（m-2）2+（
    1
    6
    m2-
    2
    3
    m-2）2-16]=8m+16，
    当m=8时，AG•AH=8•8+16=80．
    ∵m=8，
    ∴H（8，
    10
    3
    ），
    ∴AH2=（xH-xA）2+（yH-yA）2=（8+2）2+（
    10
    3
    -0）2=
    1000
    9
    ，
    ∴AH=
    10
    		10
    3
    ，
    ∴AG=
    12
    		10
    5
    ，
    ∴GH=AH-AG=
    14
    		10
    15
    ．
    点评：本题综合难度较高，计算量也较大，主要考查了三角形相似、抛物线性质、利用勾股定理求坐标系中两点距离及圆与切割线定理等知识，但处理各问的方式属于都属于常规考法，值得学生练习、巩固，综上来说这是一道质量很高的题目．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    当x=-2时，二次根式
    		5-2x
    的值是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如果零上5℃可用+5℃表示，那么零下3℃可表示为（　　）
    A、+3℃B、-3℃
    C、+3D、-3

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：△ABC中，AB=4，AC=3，BC=
    		7
    ，则△ABC的面积是（　　）
    A、6
    B、5
    C、1.5
    		7
    D、2
    		7

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    直线y=kx-2经过点A（-1，-5），求：关于x的不等式kx-2≥0的解集．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y=-x2+2x+3．
    （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴；
    （2）直接写出抛物线与x轴的两个交点A、B（点A在点B的左侧）及与y轴的交点C的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    某区八年级有3000名学生参加“心理健康知识竞赛”活动．
    为了了解本次知识竞赛成绩分布情况，从中抽取了部分学生的得分进行统计．请你根据不完整的表格，回答下列问题：
    成绩x（分）频数频率
    50≤x＜6010
     
    60≤x＜70160.08
    70≤x＜80
     
    		0.2
    80≤x＜9062
     
    90≤x＜100720.36
    （1）补全频率分布表；
    （2）补全频率分布直方图；
    （3）根据上面的频率分布表、频数分布直方图，你能对本次知识竞赛的成绩分布情况做出怎样的估计？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    春夏交接之际，某校为了解全体学生患流感情况，随机抽取部分班级对患流感人数的进行调查，发现被抽查各班级患流感人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名这六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

    （1）抽查了
     
    个班级，并将该条形统计图补充完整；
    （2）扇形图中患流感人数为4名所在扇形的圆心角的度数为
     
    ；
    （3）若该校有60个班级，请估计该校此次患流感的人数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    2013年12月23日，中央办公厅印发《关于培育和践行社会主义核心价值观的意见》，将社会主义24字核心价值观分成3个层面：富强、民主、文明、和谐，是国家层面的价值目标；自由、平等、公正、法治，是社会层面的价值取向；爱国、敬业、诚信、友善，是公民个人层面的价值准则．某校九年级（一）班的数学兴趣小组就“你了解社会主义核心价值观吗？”随机调查了本校部分同学，并对调查结果进行整理，绘制成如图尚不完整的统计图表：
    组别了解程度频数（人数）频率
    A完全了解16
    B一般m0.15
    C不了解
    根据以上内容，回答下列问题：
    （1）本次共调查了
     
    名同学；m=
     
    ；
    （2）补全条形统计图（图1），并计算C组（图2）所在扇形的圆心角度数；
    （3）学校计划组织“社会主义核心价值观”的专题学习，要求所有B组和C组学生参与学习，请问该学校3000名学生中，需要参加专题学习的学生有多少名？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案