Question

11．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：
（1）CD=BH；
（2）AB是AG和HE的比例中项．

Answer 1

分析 （1）根据已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，从而得到BH=DC；
（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似得到△BEH∽△GBA，相似三角形的对应边成比例所以BH•AB=EH•AG，由于BH=DC=AB所以推出了AB²=GA•HE．

解答 证明：（1）∵在?ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE，
∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，
∴∠EBH=∠EDC，
在△BEH与△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠CDE}\\{BE=DE}\\{∠BEH=∠CED}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△DEC．
∴BH=DC；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE，AB=CD，
∴∠G=∠HBE，
∴△BEH∽△GBA，
∴BH•AB=EH•AG，
∵BH=DC=AB，
∴AB²=GA•HE．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．