Question

3．如用，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论中：①AB=BF；②AE=ED；③AD=DC；④∠ABE=∠DFE；⑤$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CF}{DF}$，正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ①⑤
• C． ③④
• D． ①②⑤

Answer 1

分析 根据余角的性质得到∠C=∠BAD，根据平行线的性质得到∠C=∠BFE，等量代换得到∠BAD=∠BFE，由角平分线的定义得到∠ABE=∠FBE，推出△ABE≌△FBE，根据全等三角形的性质得到AB=BF；故①正确；由AB＞BD，BE平分∠ABD，得到AE≠DE；故②错误；由于∠C不一定等于∠DAC，得到AD不一定等于CD，故③错误；由于∠BAE=∠BFE，而∠ABE不一定等于∠BAE，于是得到∠ABE不一定等于∠DFE，故④错误；根据BE平分∠ABC，得到$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{DE}$，由EF∥AC，得到$\frac{CF}{DF}=\frac{AE}{DE}$，等量代换得到$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CF}{DF}$，故⑤正确．

解答 解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵EF∥AC，
∴∠C=∠BFE，
∴∠BAD=∠BFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BFE}\\{∠ABE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE，
∴AB=BF；故①正确；
∵AD⊥BC，
∴AB＞BD，
∵BE平分∠ABD，
∴AE≠DE；故②错误；
∵∠C+∠CAD=90°，
而∠C不一定等于∠DAC，
∴AD不一定等于CD，故③错误；
∵∠BAE=∠BFE，
而∠ABE不一定等于∠BAE，
∴∠ABE不一定等于∠DFE，故④错误；
∵BE平分∠ABC，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{DE}$，
∵EF∥AC，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{AE}{DE}$，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CF}{DF}$，故⑤正确．
故选B．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形角平分线定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．