Question

【题目】已知平行四边形ABCD，过点A作BC的垂线，垂足为点E，且满足AE＝EC，过点C作AB的垂线，垂足为点F，交AE于点G，连接BG．

（1）如图1，若AC＝，CD＝4，求BC的长度；

（2）如图2取AC上一点Q，连接EQ，在△QEC内取一点，连接QH，EH，过点H作AC的垂线，垂足为点P，若QH＝EH，∠QEH＝45°．求证：AQ＝2HP．

Answer 1

【答案】（1）3+；（2）见解析

【解析】

（1）利用勾股定理分别求出AE，BE即可解决问题．

（2）如图2中，如图2中，作EM⊥QE交QH的延长线于M，连接CM．证明△ABQ≌△CEM（SAS），推出AQ＝CM，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．

（1）解：如图1中，

∵AE⊥BC于E，

∴∠AEC＝90°，

∵AE＝EC，AC＝，

∴AE＝EC＝，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝4，

∵∠AEB＝90°，

∴BE＝，

∴BC＝BE+EC＝3+．

（2）证明：如图2中，如图2中，作EM⊥QE交QH的延长线于M，连接CM．

∵QH＝EH，∠QEH＝45°，

∴∠QEH＝∠EQH＝45°，

∴∠EHQ＝90°，

∵EM⊥EQ，

∴∠MEQ＝90°，

∴∠EMQ＝∠EQM＝45°，

∴EQ＝EM，

∵EH⊥QM，

∴QH＝HM，

∵∠AEC＝∠QEM＝90°，

∴∠AEQ＝∠CEM，

∵EA＝EC，EQ＝EM，

∴△AEQ≌△CEM（SAS），

∴AQ＝CM，∠EAQ＝∠ECM＝45°，

∵∠ACE＝45°，

∴∠ACM＝90°，

∵HP⊥QC，

∴∠HPQ＝∠MCP，

∴HP∥CM，

∴QP＝PC，

∵QH＝HM，

∴CM＝2PH，

∴AQ＝2PH．