Question

1．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF，下列结论：
①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=$\sqrt{2}+1$；③S_△AGD=$\sqrt{2}$S_△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．
其中正确结论的序号是①②③④⑤（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①根据折叠的性质我们能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；
②设AE=x，由△BEF是等腰直角三角形，得出BE=$\sqrt{2}$x，得出AD=AB=x+$\sqrt{2}$x=（1+$\sqrt{2}$）x，由tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$，即可求得tan∠AED=$\sqrt{2}+1$；
③设GF=AE=1，由②可知AD=$\sqrt{2}$+1，根据等腰直角三角形的性质求得OD和OF，由△OGD与△FGD同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得即可求得S_△FGD=$\sqrt{2}$SS_△OGD，根据△FGD≌△AGD，得出S_△AGD=$\sqrt{2}$S_△OGD；
④根据同位角相等得到EF∥AC，GF∥AB，由折叠的性质得出AE=EF，即可判定四边形AEFG是菱形；
⑤通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．

解答 解：在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
∴∠GAD=45°，∠ADG=$\frac{1}{2}$∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=112.5°，所以①正确．
设AE=x，
∵∠ABD=45°，∠EFD=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF=AE=x，
∴BE=$\sqrt{2}$x，
∴AD=AB=x+$\sqrt{2}$x=（1+$\sqrt{2}$）x，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{（1+\sqrt{2}）x}{x}$=1+$\sqrt{2}$，所以②正确．
根据题意可得：AE=EF，AG=FG，
∵∠BAC=∠CEF=45°，
∴EF∥AC，
∵∠DAC=∠OFG=45°=∠ABD，
∴GF∥AB，
∴四边形AEFG是菱形，所以④正确．
由∠OFG=45°，AC⊥BD，
∴△GOF是等腰直角三角形，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GF，
设GF=AE=1，由②可知AD=$\sqrt{2}$+1，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$+1）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴FD=OF+OD=1+$\sqrt{2}$，
因为△OGD与△FGD同高，
∴$\frac{{S}_{△FGD}}{{S}_{△OGD}}$=$\frac{FD}{OD}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△FGD=$\sqrt{2}$SS_△OGD，
∵△FGD≌△AGD，
∴S_△AGD=$\sqrt{2}$S_△OGD，所以③正确；
设BF=EF=AE=FG═AG=1，则OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB=1+$\sqrt{2}$，BD=2+$\sqrt{2}$，DF=1+$\sqrt{2}$，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG∥AC，
∴△DOG∽△DFE，
∴$\frac{OG}{EF}$=$\frac{DO}{DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$EF=2OG，
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
∴BE=2OG．所以⑤正确．
故正确的结论有①②③④⑤．
故答案为①②③④⑤．

点评 本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．