Question

9．近年来，合肥“大建设”已经取得了令人瞩目的成就，今年合肥市继续重点实施综合交通、园林绿化和环境综合整治等八大类工程．如图是某建筑工地搭建的临时帐篷的横截面，其上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米，OE=3米，如果还要搭建一个矩形“支撑架”，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长L（L=AD+DC+CB）的最大值是多少？

Answer 1

分析 由图可得M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式．设A（m，0），则B（12-m，0），C（12-m，-$\frac{1}{12}$m²+m+3），D（m，-$\frac{1}{12}$m²+m+3），根据支撑架”总长L=AD+DC+CB列出关于m的函数关系式，可得最大值．

解答 解：如图，以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

由题意得：M（12，0），P（6，6），
由顶点P（6，6），设此函数解析式为：y=a（x-6）²+6，
将点（0，3）代入得a=-$\frac{1}{12}$，
∴y=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+6
=-$\frac{1}{12}$x²+x+3；
设A（m，0），则B（12-m，0），C（12-m，-$\frac{1}{12}$m²+m+3），D（m，-$\frac{1}{12}$m²+m+3）
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（-$\frac{1}{12}$m²+m+3）+（12-2m）+（-$\frac{1}{12}$m²+m+3）=-$\frac{1}{6}$m²+18，
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=0时，AD+DC+CB有最大值为18．

点评 本题主要考查二次函数的应用能力，建立合适坐标系求解析式是解决问题的根本，求二次函数的最大（小）值是关键，通常有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．