Question

19．如图，在△ABC中，BD是角平分线，AB=AC=5，BC=8，过A作AE⊥BD交于F，交BC于E，连结DE，则S_△ABF：S_△CDE=$\frac{65}{48}$．

Answer 1

分析 过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质得到BM=CM=4，由勾股定理得到AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3，推出△ABF≌△BEF，根据全等三角形的性质得到BE=AB=5，S_△ABF=$\frac{1}{2}$S_△ABE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{4}$，根据全等三角形的性质得到AD=DE，通过△CEN∽△AMB，求得CN=$\frac{12}{5}$．EN=$\frac{9}{5}$，根据勾股定理列方程得到CD=$\frac{40}{13}$，于是得到结论．

解答 解：过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥AC于N，
∵AB=AB，
∴BM=CM=4，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3，
∵BD是角平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=EFB=90°，
在△ABF与△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠EBF}\\{BF=BF}\\{∠AFB=∠BFE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BEF，
∴BE=AB=5，S_△ABF=$\frac{1}{2}$S_△ABE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{4}$，
∴CE=3，
在△ABD与△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BED，
∴AD=DE，
设AD=DE=x，
∵∠ENC=∠AMB=90°，∠C=∠ABC，
∴△CEN∽△AMB，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CN}{BM}=\frac{EN}{AM}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{CN}{4}=\frac{EN}{3}$，
∴CN=$\frac{12}{5}$．EN=$\frac{9}{5}$，
∴DN=5-x-$\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$-x，
∵DE²=DN²+EN²，即x²=（$\frac{13}{5}$-x）²+（$\frac{9}{5}$）²，
∴x=$\frac{25}{13}$，
∴CD=$\frac{40}{13}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×$\frac{40}{13}$×$\frac{9}{5}$=$\frac{36}{13}$，
∴S_△ABF：S_△CDE=$\frac{65}{48}$．
故答案为：$\frac{65}{48}$．

点评 本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．