Question

10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．
（1）若∠CAB=65°，求∠D的度数；
（2）若AE=10，EB=2，且∠AEC=30°，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）因为∠AEC=30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为5cm，进而求得OE=4，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=$\frac{1}{2}$OE=2，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长．

解答 解：（1）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠B=25°，
∴∠D=∠B=25°；

（2）连接OC，过点O作OF⊥CD于点F；
∵AE=10，BE=2，
∴OC=OA=6，OE=6-2=4；
∵∠AEC=30°，
∴OF=2，
由勾股定理得：CF²=OC²-OF²，
解得：CF=$\sqrt{21}$，
∴CD=2CF=2$\sqrt{21}$．

点评 该题主要考查了垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径垂径定理、勾股定理等几何知识点来分析、判断、解答．