Question

14．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过B，C和边EF的中点M，若S_{四边形ABCD}=8，则正方形DEFG的面积是（　　）

• A． $\frac{23}{9}$
• B． $\frac{128}{9}$
• C． 16
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 根据正方形面积公式得到正方形的边长，判断△AOD和△ABH是等腰直角三角形，得出B点坐标，根据B点坐标得到反比例函数解析式，设DN=a，则EN=NF=a，根据正方形的性质易得E，F的坐标，求得M点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的方程，解方程求出a的值，最后计算正方形DEFG的面积．

解答 解：作BH⊥y轴于B，连结EG交x轴于P，如图，
∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，
∴∠EDF=45°，
∴∠ADO=45°，
∴∠DAO=∠BAH=45°，
∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，
∵S_{正方形ABCD}=8，
∴AB=AD=2$\sqrt{2}$，
∴OD=OA=AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∴B点坐标为（2，4），
把B（2，4）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，
设DN=a，则EN=NF=a，
∴E（a+2，a），F（2a+2，0），
∵M点为EF的中点，
∴M点的坐标为（$\frac{3}{2}$a+2，$\frac{a}{2}$），
∵点M在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，
∴$\frac{3a+4}{2}$•$\frac{a}{2}$=8，
整理得3a²+4a-32=0，解得a₁=$\frac{8}{3}$，a₂=-4（舍去），
∴正方形DEFG的面积=4•$\frac{1}{2}$DN•DF=4•$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{3}$•$\frac{8}{3}$=$\frac{128}{9}$．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性质，记住线段中点的坐标公式；会解一元二次方程．