Question

9．如图，MN是半径为4cm的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于P，此时PA+PB最小，且此时PA+PB=BA′，只要证明△BOA′是直角三角形即可解决问题．

解答 解：如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于P，此时PA+PB最小，连接OB、OA′．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=PA′+PB=BA′，
∵∠AMN=30°，点B是AM弧中点，
∴∠BOM=∠AMN=30°，
∵∠AMN=∠A′MN=30°，OB=OA′，
∴∠OMA=∠OA′M=30°，
∴∠NOA′=∠OMA′+∠OA′M=60°，
∴∠BOA′=90°，
∴A$′B=\sqrt{2}OB$=4$\sqrt{2}$，
∴PA+PB的最小值=4$\sqrt{2}$．
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查最短问题、圆的有关知识，利用对称是解决最短问题的关键，在求线段BA′时猜想线段BA′是不是特殊三角形的边，把问题转化为求特殊三角形的边的问题，属于中考常考题型．