Question

18．已知关于x的一元二次方程x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}{m^2}$+1=0的两根是一个矩形的两邻边的长，且矩形的对角线长为$\sqrt{29}$，则m的值是2．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系，以及x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=29，即9-2k=5即可求解．

解答 解：∵方程有两个实数根．
∴△=（m+1）²-4（$\frac{1}{4}{m^2}$+1）≥0，
解得m≥$\frac{3}{2}$，
由根与系数的关系可知：x₁+x₂=m+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}{m^2}$+1．
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，
∴（m+1）²-2（$\frac{1}{4}{m^2}$+1）=5，
∴m=2或m=-6；
∴m=2，
故答案为：m=2．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＞0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理以及矩形的性质．