Question

17．在等腰△ABC中，AC=BC，其内切圆分别与边AB、BC、CA切于点D、E、F．一条过点A且异于AE的直线交△ABC的内切圆于点P、G，EP、EG分别交AB于点K、L．求证：DK=DL．

Answer 1

分析 由题意易知AD=DB，所以欲证明DK=DL，只要证明AK=BL，只要证明△AFK≌△BEL即可．

解答 证明：连接CD、PF、FK．
∵⊙O是等腰三角形的内切圆，圆、等腰三角形都是轴对称图形，
∴CD⊥AB，AD=DB，CD平分EF劣弧、EF优弧，
∵E、F是切点，
∴CF=CE，
∵CA=CB，
∴AF=BE，
∵∠BKE=$\frac{1}{2}$（DE弧度-DP弧度）=$\frac{1}{2}$（DF弧度-DP弧度）=$\frac{1}{2}$PF弧度=∠AFP，
∴点A、F、K、P四点共圆，
∴∠AFK=∠APK，
∵∠APK=∠EPG=$\frac{1}{2}$EG弧度=∠BEG=∠BEG
在△AFK和△BEL中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAK=∠B}\\{AF=BE}\\{∠AFK=∠BEL}\end{array}\right.$，
∴△AFK≌△BEL，
∴AK=BL，
∴KD=DL．

点评 本题考查等腰三角形的性质、圆的性质、全等三角形的判定和性质，本题难点是证明∠AFK=∠BEL，这里用了四点共圆的判定以及性质，还用到圆外角与所夹弧的度数之间的关系定理．