Question

12．在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，当点F为AD中点时，∠ECF的正切值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由在矩形ABCD中，BC=4，点F为AD中点，可求得AF=2，易证得△AEF∽△CEB，由相似三角形的对应边成比例，可得BF=3FE，继而求得答案．

解答 解：∵点F为AD中点，且AD=BC=4，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{FE}{BE}$=$\frac{AF}{CB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵F为AD的中点，由对称性，得到BF=CF，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{3}$
∴CF=3EF
∴EC²=FC²-EF²=9EF²-EF²=8EF²
∴EC=2$\sqrt{2}$EF
∴tan∠ECF=$\frac{EF}{EC}$=$\frac{EF}{2\sqrt{2}EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选：C．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角函数的定义，掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．