Question

3．如图，正方形ABCD中，点M为DA延长线上一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD于点N，在CD延长线上取一点F，使BM=CF-DN，连接BF，交CN于点E．
（1）∠F=30°，BC=2$\sqrt{3}$，求DF的长度；
（2）求证：BC=EC．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可知∠BCF=90°，由∠F=30°，BC=2$\sqrt{3}$结合三角函数可求得CF的长，再由线段间的关系可得出结论；
（2）构造辅助线充分利用BM=CF-DN这个条件是关键，然后利用等角对等边的性质去证明．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，∠BCF=90°，
∴CF=BC•cot∠F=2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6，
∴DF=6-2$\sqrt{3}$．
（2）在CD上截取CH=ND，如图，则可证Rt△BCH≌Rt△CDN
∴BH=CN=BM，∠HBC=∠NCD，
又HF=CF-CH=CF-DN=BM，
∴BH=FH
∴∠FBH=∠BFH
故∠FBC=∠FBH+∠HBC=∠BFH+∠NCD=∠BEC
∴BC=EC．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质以及特殊角的三角函数值，解题的关键：（1）利用特殊角的三角函数值；（2）找到∠BEC=∠EBC．本题属于中档题，（1）没有难度，（2）稍微有点难度，解决该类型的题时，找边相等要想到两边所在的三角形为等边或者等腰三角形．