Question

7．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，D，E，M分别为AC，AB，BE的中点，连接DM，以DM为边作△DMN，连接FN，且DM=DN．若∠B=∠C=∠MDN=60°，AB=6，则FN的长度为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由ED为三角形ABC中位线，得到ED与BC平行，由DF与AB平行且D为AC中点，得到F为BC中点，即DF为三角形ABC中位线，再由题意得到三角形ABC为等边三角形，继而得到DE=DF，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS得到三角形DEM与三角形DFN全等，利用全等三角形对应边相等得到FN=EM，求出EM的长即为FN的长．

解答 解：∵ED为△ABC中位线，
∴ED∥BC，ED=$\frac{1}{2}$BC，
∵DF∥AB，D为AC中点，
∴F为BC中点，即DF为△ABC中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠B=∠C=∠MDN=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠MDF+∠FDN=60°，
∴AB=BC=6，即DE=DF=3，
∵M为EB中点，
∴EM=$\frac{1}{2}$EB=$\frac{3}{2}$，
∵∠EDM+∠MDF=∠AED=∠B=60°，
∴∠FDN=∠EDM，
在△DEM和△DFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠EDM=∠FDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DFN（SAS），
∴FN=EM=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．