Question

6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则sin∠ECB为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{3\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 根据垂径定理得到AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4，设AO=x，则OC=OD-CD=x-2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x²=4²+（x-2）²，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE，由三角函数的定义求出sin∠ECB即可．

解答 解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
设AO=x，则OC=OD-CD=x-2，
在Rt△ACO中，∵AO²=AC²+OC²，
∴x²=4²+（x-2）²，
解得：x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{C{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴sin∠ECB=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{6}{2\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
故选：B．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理、三角函数；由勾股定理求出半径是解决问题的突破口．