Question

已知：如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）说明：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么位置关系？说明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形性质求出∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC，根据SAS推出两三角形全等即可．
（2）根据全等得出∠F=∠BEC，∠FDC=∠CBE=∠DBE，求出∠BEC=∠BDF=∠F，推出BD=BF，求出BG⊥DF，根据等腰三角形性质求出DG=FG，根据三角形中位线求出即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC，
在△BCE和△DCF中

BC=CD ∠BCE=∠DCF CE=CF

∴△BCE≌△DCF（SAS）．

（2）OG∥BF，
理由是：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠FDC，∠F=∠BEC，
∵BG平分∠DBC，
∴∠DBG=∠CBE=∠FDC，
∴∠BEC=∠DBG+∠BDC=∠FDC+∠BDC=∠BDF，
∴∠BDF=∠F，
∴BD=BF，
∵∠BCE=90°，
∴∠EBC+∠BEC=90°，
∵∠FDC=∠CBE，∠DEG=∠BEC，
∴∠FDC+∠DEG=90°，
∴∠BGD=180°-90°=90°，
∴BG⊥DF，
∵BD=BF，
∴GD=FG，
∵BO=OD，
∴OG∥BF．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．