Question

5．已知BC是⊙O的一条弦，A为优弧$\widehat{BC}$上一点，⊙O的半径为R．
（1）如图1：若∠A=30°，则$\frac{BC}{2R}$=$\frac{1}{2}$；如图2：若∠A=45°，则$\frac{BC}{2R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）如图3：∠A为锐角，猜想：$\frac{BC}{2R}$=sin∠A，并证明你的结论；
（3）如图4，∠A=60°，点B、C分别在∠A的两条边上（不与A重合），且BC=4，利用（2）的结论求AC的最大值．

Answer 1

分析 （1）作OD⊥BC于D，根据垂径定理和等腰三角形的性质求得∠BOD=∠A，解直角三角形即可求得；
（2）作OD⊥BC于D，根据垂径定理和等腰三角形的性质求得∠BOD=∠A，解直角三角形即可求得sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{2BD}{2R}$=$\frac{BC}{2R}$，从而求得$\frac{BC}{2R}$=sin∠A．
（3）因为AC的最大值是圆的直径，只要求得△ABC外接圆的直径即可，根据（2）结论即可求得．

解答 解：（1）如图1，∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
作OD⊥BC于D，
∴BD=DC，
∴OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2BD}{2OB}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{BC}{2R}$=$\frac{1}{2}$；
如图2，∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
作OD⊥BC于D，
∴BD=DC，
∴OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°，
∴sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{2BD}{2OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
即$\frac{BC}{2R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案为$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）猜想：$\frac{BC}{2R}$=sin∠A；
如图3，作OD⊥BC于D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴$∠BOD=\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BOD=∠A，
在RT△BOD中，sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{2BD}{2R}$=$\frac{BC}{2R}$，
∴$\frac{BC}{2R}$=sin∠A．
故答案为sin∠A．
（3）当AC是外接圆的直径时，AC最大，
由（2）可知sin∠A=$\frac{BC}{2R}$，
∵∠A=60°，BC=4，
∴2R=$\frac{BC}{sin60°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$．
即AC的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理以及直角三角形的正弦函数，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．