Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接PB，请探究：在抛物线上是否存在一点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

　

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据三角形两边之和大于第三边，可得N在直线OM上，根据解方程组，可得答案；

（3）根据平行线间的距离相等，可得过P点平行BC的直线，根据解方程组，可得Q点坐标，再根据BC向下平移BC与l₁相距的单位，可得l₂，根据解方程组，可得答案．

【解答】解：（1）将A、B两点代入解析式，得

，

解得．

故抛物线的解析式为y=﹣x²+2x+3

（2）存在点N使得|MN﹣ON|的值最大．过程如下：

如图1：

作直线OM交抛物线于两点，则两交点即为N点，

y=﹣x²+2x+3的对称轴为x=1．

设BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入函数解析式，得

，解得，

BC的解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=2，即M（1，2）．

设直线OM的解析式为y=kx，将M（1，2）代入函数解析式，得

k=2．

直线OM的解析式为y=2x．

联立抛物线与直线OM的解析式，可得

解得：，

∴存在点N，其坐标为N₁（，2），N₂（﹣，﹣2）

（3）如图2：

，

由题意可得：P（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3

∵S_△QMB=S_△PMB，

∴点Q在过点P且平行于BC的直线l₁上，设其交点为Q₁；或在BC的下方且平行于BC的直线l₂上，设其交点为Q₂，Q₃，

∴设l₁的解析式为y=﹣x+b

把点P的坐标代入可得：b=5

∴设l₁的解析式为y=﹣x+5

联立得

解得：（不符合题意，舍），，

∴Q₁（2，3）．

根据对称性可求得直线l₂的解析式为y=﹣x+1

联立得

解得，

∴Q₂（，），Q₃（，），

综上所述，满足条件的点Q共有3个，其坐标分别为Q₁（2，3），Q₂（，），Q₃（，）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用同一条直线上两线段的差最大得出N在直线OM上是解题关键；利用平行线间的距离相等得出Q在过P点平行于BC的直线上是解题关键，注意BC下方距的距离是BC与l₁相距的单位l₂上存在符合条件的点，以防遗漏．