Question

如图，已知抛物线y=﹣ax²+2ax+3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）请直接写出A、B两点的坐标．

（2）当a=，设直线AC与抛物线的对称轴交于点P，请求出△ABP的面积．

Answer 1

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】计算题．

【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程﹣ax²+2ax+3a=0即可得到A（3，0），B（﹣1，0）；

（2）当a=时，y=﹣x²+2x+3，先确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x+3，接着确定P点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

【解答】解：（1）令y=0，﹣ax²+2ax+3a=0，

整理得x²﹣2x﹣3=0，

解得x₁=3，x₂=﹣1，

所以A（3，0），B（﹣1，0）；

（2）当a=时，y=﹣x²+2x+3，

当x=0时，y=3，则C（0，3），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（3，0），C（0，3）代入得，解得，

所以直线AC的解析式为y=﹣x+3，

而抛物线的对称轴为直线x=1，

当x=1时，y=﹣x+3=2，则P（1，2），

所以△APB的面积=×（3+1）×2=4．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．