Question

16．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²-2x+c（a，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（-4，3），直角顶点B在第二象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，判断线段PQ的长度是否为定值？如果是，求出PQ的长；如果不是，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线对称性得出B点坐标，再根据A、B两点坐标用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）求出滑动过程中，抛物线与直线AC的两个交点坐标，利用两点间的距离公式算出PQ为定值；
（3）分两大类情况：
①PQ为直角边，点M到PQ的距离为2$\sqrt{2}$，此时，将直线AC向左平移4个单位后所得直线（y=-x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点；
②PQ为斜边，点M到PQ的距离为$\sqrt{2}$．此时，将直线AC向左平移2个单位后所得直线（y=-x-3）与抛物线的交点，即为所求之M点．

解答 解：（1）由题意，得点B的坐标为（-4，-1），
∵抛物线y=ax²-2x+c过A（0，-1），B（-4，-1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{16a+8+c=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$．
∴抛物线的函数表达式为：$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-1$．      
（2）PQ的长度是定值，为$2\sqrt{2}$．
∵A（0，-1），C（-4，3），
∴直线AC的解析式为：y=-x-1．
设平移前抛物线的顶点为P₀，则由（1）可得P₀的坐标为（-2，1），且P₀在AC上．
∵点P在直线AC上滑动，
∴可设P点坐标为（m，-m-1），
则平移后抛物线的函数表达式为：$y=-\frac{1}{2}（x-m）^{2}-m-1$．
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-\frac{1}{2}（x-m）^{2}-m-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=m}\\{{y}_{1}=-m-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=m+2}\\{{y}_{2}=-m-3}\end{array}\right.$；
∴P（m，-m-1），Q（m+2，-m-3），
∴PQ=$\sqrt{（m-m-2）^{2}+（-m-1+m+3）^{2}}$=$2\sqrt{2}$=AP₀． 
（3）若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为$2\sqrt{2}$（即为PQ的长），
由A（0，-1），B（-4，-1），P₀（-2，1）可知，△ABP₀为等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=$2\sqrt{2}$．
如图，过点B作直线l₁∥AC，交抛物线$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-1$于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l₁的解析式为：y=-x+b₁．
∵B（-4，-1），
∴-1=4+b₁，
解得：b₁=-5，
∴直线l₁的解析式为：y=-x-5，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-5}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-1}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=-7}\end{array}\right.$，
∴M₁（-4，-1），M₂（2，-7）；
②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为$\sqrt{2}$，
如图，取AB的中点F，则点F的坐标为（-2，-1），
由A（0，-1），F（-2，-1），P₀（-2，1）可知：
△AFP₀为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为$\sqrt{2}$，
过点F作直线l₂∥AC，交抛物线$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-1$于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l₂的解析式为：y=-x+b₂，
∵F（-2，-1），
∴-1=2+b₂，
解得b₂=-3．
∴直线l₂的解析式为：y=-x-3．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-1}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1+\sqrt{5}}\\{{y}_{1}=-2-\sqrt{5}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1-\sqrt{5}}\\{{y}_{2}=-2+\sqrt{5}}\end{array}\right.$．
∴M₃（$-1+\sqrt{5}$，$-2+\sqrt{5}$），M₄（$-1-\sqrt{5}$，$-2+\sqrt{5}$）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M₁（-4，-1），M₂（2，-7），M₃（$-1+\sqrt{5}$，$-2-\sqrt{5}$），M₄（$-1-\sqrt{5}$，$-2+\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的图象的性质、待定系数法求二次函数和一次函数解析式、平移变换、对称变换、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、解二元二次方程组、两点间的距离公式等众多知识点，综合性很强，难度很大，是一道经典中考压轴题，要求学生具备扎实的数学功底和熟练的解题技巧．第（3）问的解答体现了分类讨论思想，数形结合思想，动静结合思想，要引起重视．