Question

11．如图，正方形ABCD的边BC的延长线满足CE=DC，CF=AC，连结AF、DE交于点G，连结CG．试证明△DCG是等腰三角形．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，DC=AD，得出AC=$\sqrt{2}$CD，证出△DCE是等腰直角三角形，得出∠CDE=∠CED=45°，DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$CE，得出AC=DE，证出CF=DE，再证出EF=EG，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，DC=AD，
∴AC=$\sqrt{2}$CD，∠DCE=90°，
∴∠ACE=45°+90°=135°，
∵CF=AC，
∴∠F=∠CAF=$\frac{1}{2}$（180°-135°）=22.5°，
∴∠DAG=45°-22.5°=22.5°，
∵CE=DC，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$CE，
∴AC=DE，
∵CF=AC，
∴CF=DE，
∵∠CEG=∠F+∠EGF，
∴∠EGF=45°-22.5°=22.5°=∠F，
∴EF=EG，
∴CF-EF=DE-GE，
∴CE=DG，
∴CD=DG，
即△DCG是等腰三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．