Question

20．如图，射线PE平分∠CPD，O为射线PE上一点，以O为圆心作⊙O，与PD边交于点A、点B，连结OA，且OA∥PC．
（1）求证：AP=AO．
（2）若⊙O的半径为10，tan∠OPB=$\frac{1}{2}$，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的性质得出∠CPE=∠DPE，再由OA∥PC得出∠POA=∠CPE，故∠DPE=∠POA，由此可得出结论；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可知AD=$\frac{1}{2}$AB，再由tan∠OPB=$\frac{1}{2}$可设OD=x，则PD=2x，由（1）知AP=AO，故AD=2x-10，在Rt△AOD中根据勾股定理求出x的值，继而可得出结论．

解答 （1）证明：∵PE平分∠CPD，
∴∠CPE=∠DPE．
∵OA∥PC，
∴∠POA=∠CPE，
∴∠DPE=∠POA，
∴AP=AO；

（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵⊙O的半径为10，tan∠OPB=$\frac{1}{2}$，
∴设OD=x，则PD=2x．
∵由（1）知AP=AO，
∴AD=2x-10，
在Rt△AOD中，
∵OD²+AD²=OA²，即x²+（2x-10）²=10²，解得x=8，
∴AD=16-10=6，
∴AB=2AD=12．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．