Question

15．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC等于8．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=$\frac{1}{2}$BF=3，再利用勾股定理，可求得BH的长，继而求得答案．

解答 解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BF}$，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
∵CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=$\frac{1}{2}$BF=3．
∴BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴BC=2BH=8．
故答案为：8．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．