Question

10．如图，以点D为中线把正方形ABCD的边DC顺时针旋转α度（0＜α＜360°）得DE，连接AE、BE．
（1）当α=30时，求证：△ABE是等腰三角形；
（2）除30外，当α等于多少时，△ABE是等腰三角形？请直接写出α的值．

Answer 1

分析 （1）证明△ADE是等边三角形，即可得到AB=AE，△ABE是等腰三角形；
（2）分别画出α=60°或150°或300°时的图形，根据图形即可得到答案．

解答 解：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠ADC=90°，
∵α=30°
∴∠ADE=60°，
∵DC=DE，
∴AD=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，
∴AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形；
（2）如图2，当α=60°时，EB=EA，则△EBA是等腰三角形；

如图3，当α=150°时，AB=AE，则△EBA是等腰三角形；

如图4，当α=300°时，EA=EB，△EBA是等腰三角形；

故△ABE是等腰三角形时，α的值还可能是60°或150°或300°．

点评 本题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是进行分类讨论求α的值．