Question

5．如图，∠A=90°，AB=6，点C是射线AP上的动点，连结BC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，且BC=2CD，过点D作DE⊥AP于点E，点F是点C关于直线DE的对称点，连接BD、DF，设AC=m．
（1）当m=2时，求DE的长；
（2）当m为何值时，点D落在线段BF上；
（3）过点B作AP的平行线交直线DE于点H，设△BDH的面积为S，用含m的代数式表示S．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等判断出∠ABC=∠DCE，从而得出，△ABC∽△ECD，记得得到EC=$\frac{1}{2}$AB=3，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m=1
（2）由（1）得出DE=$\frac{1}{2}$AC，EC=3，利用对称性求出CF=2EF=6，AF=m+6，再由DE∥AB，得出比例式建立方程求出m；
（3）先判断出四边形ABHE是矩形，借助（1）的结论得出AE=m+3，BH=m+3，DH=6-$\frac{1}{2}$m，即可得出三角形BDH的面积．

解答 解：（1）∵CD⊥BC，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∵∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠DCE
∵DE⊥AP，
∴∠CED=∠A=90°，
∴△ABC∽△ECD，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{CD}$=2，
∴EC=$\frac{1}{2}$AB=3，DE=$\frac{1}{2}$AC=1，
（2）由（1）知，DE=$\frac{1}{2}$AC，EC=3，
∵点F是点C关于直线DE的对称点，
∴CF=2EF=2CE=6，
∴AF=AC+CF=m+6，
∵DE⊥AP，AB⊥AP，
∴DE∥AB，
∵点D落在线段BF上，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{AF}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}m}{6}=\frac{3}{m+6}$，
∴m=-3$\sqrt{5}$-3（舍）或m=3$\sqrt{5}$-3，
即：m=3$\sqrt{5}$-3时，点D落在线段BF上；
（3）如图，

由（1）知，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，EC=3，
∴AE=AC+EC=m+3，
∵AB⊥AP，HD⊥AP，
∴AB∥HE，
∵BH∥AP，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABHE是矩形，
∴BH=AE=m+3，HE=AB=6，
∴DH=HE-DE=6-$\frac{1}{2}$m，
∴S_△BDH=$\frac{1}{2}$BH×DH=$\frac{1}{2}$×（m+3）（6-$\frac{1}{2}$m）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+9．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的性质和判定，矩形的判断和性质，解本题的关键是得出DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，EC=3是一道中等难度的中考常考题．