Question

【题目】如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】 ≤a≤3﹣
【解析】解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，
∴AC=A′D= ，
∴a= ，
②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，

设A′（t， ）时，正方形的边长最大，
∵OB′⊥OA′，
∴B′（﹣ ，t），

设直线MN的解析式为y=kx+b，M（﹣1，0），N（﹣ ，﹣ ），
∴ ，
∴ ，
∴直线MN的解析式为y=﹣ x﹣ ，
将B′（﹣ ，t）代入得t= ﹣ ，
此时，A′B′取最大值，
∴a= =3﹣ ，
∴正方形边长a的取值范围是： ≤a≤3﹣ ，
故答案为： ≤a≤3﹣ ．
①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，先利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据勾股定理求出正方形的边长a；②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，设点设A′（t， ）时，正方形的边长最大，根据OB′⊥OA′，表示出点B′（﹣ ，t），从而可得出点M、N的坐标，求出直线MN的函数解析式，再将点B′的坐标代入直线MN的函数解析式，求出t的值，然后利用勾股定理求出a的值，即可得到a的取值范围。