Question

【题目】已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．

（Ⅰ）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；
（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
∴∠OAC=90°，
∵OA=5，
∴OC=2AO=10．
（Ⅱ）连接OD，

∵∠AOC=60°，AD∥BC，
∴∠DAO=∠AOC=60°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=60°，
∴∠DOB=∠ADO=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴BD=OB=OA，
在Rt△OAC中，OC=2BD，由勾股定理得：AC= BD，
∴ = ．
【解析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理，证得∠OAC=90°，利用30度角的性质求出OC=2AO=10；（2）连接半径，构造出等边三角形△DOB，进而BD转化为OA,利用三角函数，求出BD:AC=1:.