Question

13．如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比；
（2）求两矩形的相似比．

Answer 1

分析 （1）设原矩形的长边是a，短边是b，根据原矩形的长：宽=剩下矩形的长：宽列出算式，求值即可；
（2）根据（1）中结论和相似多边形的性质得到答案．

解答 解：（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是a-b，由题意得，
a：b=b：（a-b），
∴a²-ab-b²=0，
用公式法解关于a的方程得，
a=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$b，a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$b（舍去），
∴原矩形的长和宽的比为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
（2）两矩形的相似比为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．