Question

【题目】在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．
（1）当m=4时，求n的值；
（2）设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；
（3）当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当y=x+3=0时，x=﹣3，

∴点A的坐标为（﹣3，0）．

∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，

∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，

∴当m=4时，n=3m﹣9=3

（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ ，

当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m﹣9=﹣15，

∴当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，

∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣15

（3）解：①当对称轴﹣ ≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．

在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，

∴此情况不合题意；

②当﹣3＜﹣ ＜0，即0＜m＜6时，如图2，

有 ，

解得： 或 （舍去），

∴m=2、n=﹣3；

③当﹣ ≥0，即m≤0时，如图3，

有 ，

解得： （舍去）．

综上所述：m=2，n=﹣3．

【解析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出n=3m﹣9，代入m=4可求出n值；（2）由m=﹣2可求出抛物线对称轴为x=1、n=﹣15，由当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，即可得出此时二次函数y=x2+mx+n的最小值；（3）分m≥6、0＜m＜6和m≤0三种情况，结合二次函数的图象以及y在﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，即可求出m、n的值．