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【题目】如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.

(1)请判断:FG与CE的数量关系是 ,位置关系是

(2)如图2,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;

(3)如图3,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.

【答案】(1)FG=CE,FG∥CE;(2)成立;(3)成立

【解析】

试题分析:(1)只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE,FG∥CE;

(2)构造辅助线后证明△HGE≌△CED,利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后,利用等量代换即可求出FG=C,FG∥CE;

(3)证明△CBF≌△DCE后,即可证明四边形CEGF是平行四边形.

试题解析:(1)FG=CE,FG∥CE;

(2)过点G作GH⊥CB的延长线于点H,∵EG⊥DE,∴∠GEH+∠DEC=90°,∵∠GEH+∠HGE=90°,∴∠DEC=∠HGE,在△HGE与△CED中,∵∠GHE=DCE,HGE=DEC,EG=DE,∴△HGE≌△CED(AAS),∴GH=CE,HE=CD,∵CE=BF,∴GH=BF,∵GH∥BF,∴四边形GHBF是矩形,∴GF=BH,FG∥CH∴FG∥CE∵四边形ABCD是正方形,∴CD=BC,∴HE=BC∴HE+EB=BC+EB∴BH=EC∴FG=EC

(3)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°,在△CBF与△DCE中,BF=CE,FBC=ECD,BC=DC,∴△CBF≌△DCE(SAS),∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,∵EG=DE,∴CF=EG,∵DE⊥EG∴∠DEC+∠CEG=90°∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEG,∴∠BCF=∠CEG,∴CF∥EG,∴四边形CEGF平行四边形,∴FG∥CE,FG=CE.

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