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如图①,已知线段AB=8,以AB为直径作半圆O,再以OA为直径作半圆C,P是半圆C上的一个动点(P与点A,O不重合),AP的延长线交半圆O于点D。

(1)判断线段AP与PD的大小关系,并说明理由;
(2)连接PC,当∠ACP=600时,求弧AD的长;
(3)过点D作DE⊥AB,垂足为E(如图②),设AP=x,OE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.

(1)AP=PD,理由见解析; (2) ;(3).

解析试题分析:(1)AP=PD.理由如下:如图①,连接OP.利用圆周角定理知OP⊥AD.然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD;
(2)由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线,则PC∥DO,所以根据平行线的性质易求弧AD所对的圆心角∠AOD=60°,从而求出弧AD的长;
(3)分类讨论:点E落在线段OA和线段OB上,这两种情况下的y与x的关系式.这两种情况都是根据相似三角形(△APO∽△AED)的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式.
试题解析:(1)AP="PD." 理由如下:
如图①,连接OP,OD,
∵OA是半圆C的直径,∴∠APO=90°,即OP⊥AD.
又∵OA=OD,∴AP=PD.
(2)如图①,连接PC、OD.由(1)知,AP=PD.
又∵AC=OC,∴PC∥OD. ∴∠AOD=∠ACP=60°.
∵AB=8,∴OA=4.∴弧AD的长=.

(3)分两种情况:
①当点E落在OA上(即0<x≤时),如图②,连接OP,则∠APO=∠AED.
又∵∠A=∠A,∴△APO∽△AED.∴.
∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4﹣y,∴.∴(0<x≤).
②当点E落在线段OB上(即<x<4)时,如图③,
连接OP,同①可得,△APO∽△AED.∴.
∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4+y,∴.∴<x<4).
综上所述,y与x之间的函数关系式为.

考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.等腰三角形的性质;4.三角形中位线定理;5.平行线的性质;6.弧长的计算;7.由实际问题列函数关系式;8.相似三角形的判定和性质;9.分类思想的应用.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,在□ABCD中,AB=4,AD=6,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=

(1)求AE的长;  (2)求ΔCEF的周长和面积.

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(1)如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结AM,以AM为边作等边△AMN,联结CN.求证:∠ABC=∠ACN.

【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.

【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.联结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.

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阅读理解:
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(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.

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如图,在△ABC中,点D在边AB上,满足且∠ACD=∠ABC,若AC=2,AD=1,求DB的长.

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(1)如图所示,如果你的位置在点A,你能看到后面那座高大的建筑物吗?为什么?

(2)如果两楼之间相距MN=m,两楼的高各为10m和30m,则当你至少与M楼相距多少m时,才能看到后面的N楼?

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如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:△ABD∽△CBE.

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(1)求点Q运动的速度;
(2)求图2中线段FG的函数关系式;
(3)问:是否存在这样的t,使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由.

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如图(1),∆ABC为等边三角形,AB=6,在直角三角板DEF中∠F=90°,∠FDE=60°,点D在边BC上运动,边DF始终经过点A,DE交AC于点G.

(1)求证:①∠BAD=∠CDG
②∆ABD∽∆DCG
(2)设BD=x,若CG=,求x的值;
(3)如图2,当D运动到BC中点时,点P为线段AD上一动点,连接CP,将线段CP绕着点C逆时针旋转60°得到CP' ,连接BP',DP',

①求∠CBP'的度数;②求DP'的最小值.

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