Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B(－1，0)，C、D两点在抛物线y＝x²＋bx＋c上．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)正方形ABCD沿射线CB以每秒个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B₁点，试判断B₁点是否在抛物线上，并说明理由；

(3)正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A₂B₂C₂D₂，A₂点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．(1分) 　　∵正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝90°， 　　即∠1＋∠ABO＝∠2＋∠ABO＝90°． 　　∴∠1＝∠2． 　　在Rt△BCE和Rt△ABO中， 　　∵∠1＝∠2，BC＝AB，∠CEB＝∠BOA＝90°， 　　∴Rt△BCE≌Rt△ABO．(2分) 　　∴CE＝BO，BE＝AO． 　　∵B(－1，0)， 　　∴BO＝1． 　　∵AB＝， 　　∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO＝＝＝2． 　　∴CE＝1，BE＝2． 　　∴OE＝BE－BO＝1． 　　∴C(1，－1)．(3分) 　　同理可得△ADF≌△ABO． 　　∴DF＝AO＝2，AF＝BO＝1． 　　∴OF＝AO－AF＝2－1＝1． 　　∴D(2，1)．(4分) 　　将C(1，－1)、D(2，1)分别代入y＝x2＋bx＋c中， 　　可得 　　解得 　　∴此抛物线的表达式为y＝x2＋x－2．(6分) 　　(2)点B1在抛物线上． 　　理由：根据题意，得1秒后点B移动的长度为 　　×1＝， 　　则BB1＝． 　　如图，过点B1作B1N⊥x轴于点N． 　　在Rt△ABO与Rt△BNB1中， 　　∵∠AOB＝∠BNB1＝90°， 　　∠2＝∠B1BN＝90°－∠ABO，AB＝B1B， 　　∴Rt△ABO≌Rt△BB1N． 　　∴B1N＝BO＝1，NB＝AO＝2． 　　∴NO＝NB＋BO＝2＋1＝3． 　　∴B1(－3，1)．(8分) 　　将点B1(－3，1)代入y＝x2＋x－2中，可得点B1(－3，1)在抛物线上．(9分) 　　(3)如图，设正方形ABCD沿射线BC平移后的图形为正方形A2B2C2D2． 　　∵∠1＝∠2，∠BB2A2＝∠AOB， 　　∴△A2BB2∽△BAO．(10分) 　　∴＝． 　　∵AO＝2，BO＝1，A2B2＝， 　　即＝， 　　∴BB2＝2．(11分) 　　∴正方形ABCD平移的距离为2．(12分)