Question

如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD。

（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F 由已知得BF=OE=2，OF= ∴点B的坐标是（，2） 设直线AB的解析式是y=kx+b， 则有 解得 ∴直线AB的解析式是y=x+4。 （2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO， ∴∠DAP=∠BAO=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴DP=AP= 如图，过点D作DH⊥x 轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH 在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60° ∴BG=BD·cos60°= DG=BD·sin60°= ∴OH=EG=，DH= ∴点D的坐标为（，）。
（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于 设点P为（t，0），下面分三种情况讨论： ①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t， ∴DH=2+t ∵△OPD的面积等于， ∴， 解得，（ 舍去） ∴点P1的坐标为 （，0 ）。
②当＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=-t， ∴DH=GF=2-（-t）=2+t ∵△OPD的面积等于， ∴， 解得， ∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）。
③当t≤时，如图，BD=OP=-t，DG=-t， ∴DH=-t-2 ∵△OPD的面积等于， ∴ ， 解得（舍去），， ∴点P4的坐标为（，0） 综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0）。