Question

3．将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF．
（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°，连DF，CG相交于点M，则$\frac{DF}{CG}$=$\sqrt{2}$，∠DMC=45°；
（2）结合图2，请证明（1）中的结论；
（3）将图2中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转β角（0°＜β＜90°）连DF，CG相交于点M，请画出图形，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图，连接BF，根据正方形的性质可以得到∠FBC=∠CBD=45°，由此推出∠FBD=∠GBC=90°，BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，由此即可证△BFD、△BGC相似，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由于将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，DF的延长线交CG于M，那么B、E、D三点在同一条直线上，根据正方形的性质可以得到∠FBD=∠GBC=90°，BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，由此即可证△BFD、△BGC相似，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（3）将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），如图所示，和（1）（2）一样证明△BFD、△BGC相似即可解决问题．

解答 解：（1）如图2，连接BF，

∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠FBC=∠CBD=45°，
∴∠FBD=∠GBC=90°，
∵BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴∠BCG=∠BDF，$\frac{FD}{CG}=\frac{BF}{BG}$
∵∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF
=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF
=180°-（∠BDF+∠CDF）-∠BCD
=180-45°-90°
=45°，
∴$\frac{DF}{CG}=\sqrt{2}$，∠DMC=45°；
故答案为$\sqrt{2}$，45°．
（2）如图2，

∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，
∴B、E、D三点在同一条直线上
∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠FBC=∠CBD=45°，
∴∠FBD=∠GBC=90°，
∵BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴∠BCG=∠BDF，$\frac{FD}{CG}=\frac{BF}{BG}$
∵∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF
=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF
=180°-（∠BDF+∠CDF）-∠BCD
=180-45°-90°
=45°，
∴$\frac{DF}{CG}=\sqrt{2}$，∠DMC=45°；
（3）如图4，

如图4
∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠FBD=∠GBC，BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴$\frac{DF}{CG}=\sqrt{2}$，∠BCM=∠BDM，
∵∠DMC=180°-∠DCM-∠CDF
=180°-（∠BCD-∠BCM）-∠CDF
=180°-∠BCD+∠BCM-（∠CDB+∠BDM）
=180°-∠BCD-∠BDM-∠CDB-∠BDM
=180°-∠BCD-∠CDB
=180-90°-45°
=45°，
∴∠DMC=45°；
∴$\frac{DF}{CG}=\sqrt{2}$，∠DMC=45°

点评 此题是四边形综合题，主要考查了旋转及正方形的性质，综合性比较强，通过利用正方形的性质构造相似三角形的相似条件，然后利用相似三角形性质就可以解决问题，判断△BFD∽△BGC是解本题的关键．