Question

5．如图，直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C，点B在x轴上，OB=OC，过点B作直线m∥CD．点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠POQ=45°
（1）则∠PBO=135度；
（2）问：PB•CQ的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）求证：CQ²+PB²=PQ²．

Answer 1

分析 （1）由“直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C”可得出C、D点的坐标，根据∠ODC的正切值即可求出∠ODC的度数，再由直线m∥直线CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得出∠PBO的值；
（2）断定PB•CQ是定值．依据角的计算，可得出“∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP”，由此得出△COQ∽△BPO，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{CQ}{BO}=\frac{CO}{BP}$，再结合B、C点的坐标即可得出结论；
（3）过点Q作QE⊥m于点E，由B、C点的坐标可知“∠OBC=45°，BC=3$\sqrt{2}$”，结合（1）的结论可得出∠PBC=90°，结合QE⊥m、直线m∥直线CD可得出QE=CB=3$\sqrt{2}$，在Rt△QEP中由勾股定理可得出PQ²=QE²+PE²，将PE换成PB-CQ，再代入PB•CQ=9即可得出结论．

解答 解：（1）令x=0，则y=3，
即点C的坐标为（0，3）；
令y=0，则有x+3=0，
解得：x=-3，即点D的坐标为（-3，0）．
又∵OB=OC，
∴OC=OD=OB=3．
∵tan∠ODC=$\frac{OC}{OD}$=1，
∴∠ODC=45°，
∵直线m∥直线CD，
∴∠ODC+∠PBO=180°，
∴∠PBO=135°．
故答案为：135
（2）PB•CQ是定值，理由如下：
∠OCQ=∠ODC+∠COD=45°+90°=135°=∠PBO，
∵∠COQ+∠CQO=180°-∠OCQ=45°，∠BOP+∠BPO=180°-∠PBO=45°，
∴∠COQ+∠CQO=∠BOP+∠BPO=45°，
又∵∠COQ+∠BOP=∠BOC-∠POQ=90°-45°=45°，
∴∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP，
∴△COQ∽△BPO，
∴$\frac{CQ}{BO}=\frac{CO}{BP}$，即PB•CQ=OB•OC=9．
（3）证明：过点Q作QE⊥m于点E，如图1所示．

∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，BC=3$\sqrt{2}$．
∴∠PBC=∠PBO-∠OBC=135°-45°=90°，
又∵QE⊥m，
∴CB∥QE，∠PEQ=90°．
∵直线m∥直线CD，
∴四边形BEQC为矩形，
∴QE=CB=3$\sqrt{2}$．
在Rt△QEP中，∠PEQ=90°，PE=PB-CQ，QE=3$\sqrt{2}$，
∴PQ²=QE²+PE²=18+（PB-CQ）²，
又∵PB•CQ=9，
∴PQ²=2PB•CQ+（PB-CQ）²=PB²+CQ²．

点评 本题考查了平行线的性质、角的计算、角的正切值、相似三角形的判定及性质和勾股定理，解题的关键是：（1）找出∠ODC=45°；（2）证出△COQ∽△BPO；（3）根据勾股定理得出PQ²=QE²+PE²．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据角的计算找出相等的角，根据相似三角形的判定定理找出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出边与边之间的关系．