Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BD交AB于E，作△BDE的外接圆⊙O．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AD=6，AE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC与⊙O相切；

（2）解：∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，
又∵AD=6，AE=2，设半径为r，
∴（r+2）²=6²+r²，
解方程得，r=8，
即⊙O的半径为8．
分析：（1）要证明AC与⊙O相切，即要证明OD⊥AD．连接OD，如图，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD．
（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，设半径为r，AD=6，AE=2，得到（r+2）²=6²+r²，解方程即可．
点评：本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了勾股定理．