Question

10．如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连接BE交AD于点F，且BF=AC，过点D作DG∥AB，交AC于点G．
求证：
（1）∠BAD=2∠DAC
（2）EF=EG．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BDF≌△ADC，推出BD=AD，推出∠BAD=∠ABD=2∠CBE=2∠DAC即可解决问题．
（2）延长BE、DG交于点K．想办法证明Rt△AEF≌Rt△KEG即可．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°
∵AB=BC，E为AC中点，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴180°-∠C-∠ADC=180°-∠C-∠BEC
即∠CBE=∠CAD，
 在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDB=∠CDA=90°}\\{∠FBD=∠CAD}\\{BF=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC，
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=2∠CBE=2∠DAC．

（2）延长BE、DG交于点K．
∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CAB，∠K=∠ABE，
∵∠BAC=∠C，
∴∠CGD=∠C
∵∠K=∠CBE=∠CAD
∠AEF=∠KEG=90，°∠EAF=∠EKG，
∴DG=DC，DK=BD，
∴DG=DF，DK=BD=AD，
∴DK-DG=AD-DF，即GK=AF
在Rt△AEF和Rt△KEG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠KEG=90°}\\{∠EAF=∠K}\\{AF=GK}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△KEG  （AAS），
∴EF=EG．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．